ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ આગળ સ્પર્શકો દોરવાથી બનતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

$p$ ની બે ભિન્ન કિંમતો માટે રેખાઓ $y=x+p$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ ને બિંદુઓ $A$ અને $B$ આગળ સ્પર્શે છે. ધારો કે રેખા $y = x$ એ $E$ ને બિંદુઓ $C$ અને $D$ આગળ છેદે છે. તો ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

ધારો કે $F$ અને $F'$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(b < 2)$ ના નાભિઓ છે અને $B$ એ ગૌણ અક્ષનું એક અંત્યબિંદુ છે. જો ત્રિકોણ $FBF'$ નું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

એક ઉપવલયનું કેન્દ્ર $C$ છે,$PN$ એ કોઈ પણ ઓર્ડિનેટ (કોટિ) છે અને $A$,$A'$ એ મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ છે,તો $\frac{PN^2}{AN \cdot A'N}$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $10$ છે. જો તેની ઉત્કેન્દ્રતા એ વિધેય $f(t) = t^2 + t + \frac{11}{12}$,$t \in R$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય,તો $a^2 + b^2$ ની કિંમત શોધો:

બિંદુ $(4, -3)$ એ ઉપવલય $4x^2 + 5y^2 = 1$ ના સંદર્ભમાં: